こっ、こんにちわ。今回初登場の、咲です。
はじめまして、皆さん、Ａです。

「あのね、Ａ、私、友達から３次方程式の解き方っていうのを教わったんだ。」
「咲、それは良い友を持ったね。」
「でもね、後から考えみると、よくわからないの。
　３次方程式って、ちゃんと書くと、
　　A X^3 + B X^2 + C X + D = 0
　でしょう。
　でも、これだとたいへんだから、簡単にして
　　x^3 + a x + b = 0
　から始めましょうってことをするの。
　でもね、上と下とはかなり違ってると思うの。」
「そうだね。慣れた人には説明不要ないのかもしれないけれど、
　初めて見た人にとっては、すっぽかされた気になるよね。」
「こんなの簡単だから、普通、誰でもわかるのかな？」
「そんなことはない。
　今では簡単にできることでも、最初に考えた人は大変な苦労をしたんだ。
　この上から下のように式を簡単にする方法には、“チルンハウゼン変換”という名前が付いている。
　まず最初の式を全部 A で割ると、x^3 の係数を１にできる、ということは解るよね。」

「ええ、そこまでは解るの。なので
　　X^3 + P X^2 + Q X + R = 0
　から始めても、それほど違和感ないわ。」
「次は、X = (x - P/3) に置き換えてみると、
　となって、うまい具合に x^2 の項が消えてしまう。」
「そうやって式に書けばウソじゃない、ってことはわかるんだけど、、、
　でも、どうやって最初に X = (x - P/3) なんて思い付いたのかしら。」
「そうだね、もっと簡単にして、二次式のグラフを描いてみようか。」
Ａは y=x^2 と、y=ax のグラフを重ねて描いた。
「y = x^2 + ax というグラフは、この２つを足し合わせたものだよね。」
「そうね。」
「２つ合わせると、こんな風に、放物線の軸が原点からずれる。
　a は、放物線の原点での傾きだ。」
「放物線が、直線の上を滑り落ちたみたいだね。」
「うまい言い方だね。
　そうやって滑り落ちてきた放物線がここにくるから、
　図を見ると、放物線に合わせて、ここに新しい座標を置きたくなるじゃないか。」
「それが x を置き換えるってことなの？」
「その通り。
　今の場合、ここの長さが a/2 になっているから、ちょうど x の位置を a/2 だけ横にずらせばぴったりになる。
　それを式に書くと X = (x - a/2) になるんだ。」
「ふーん、絵に書くと、イメージ湧くね。」
「なので X = (x - a/2) という置き換えで、うまく１次の項 a x を消すことができる。
　二次方程式だったら、これだけで答がわかるんだ。」
「それが解の公式ってことなんだね。」
「ああ。a が原点での傾きだということから、a/2 っていう数が微分に関係しているんじゃないかという勘が働く。
　ためしに (x^2 + a x) を微分すると、2 x + a だ。
　放物線の底ではこれが０になるから、x = a/2 ってことがわかる。」
「微分なのかぁ。」
「そう、二次式だったら a/2、三次式だったら a/3、四次式だったら a/4、、、このルールは微分とそっくりだ。
　いま二次式で考えたことを、三次式でもやってみよう。
　y = x^3 と、y = a x^2 という２つのグラフを重ね合わせてみる。」
「あ、今度は傾きじゃなくて、カーブがぴったり合っているって感じだね。」
「そう、いかにも次元が１つ上がったって感じだろう。
　この２つを合わせた y = x^3 + a x^2 のグラフは、原点から少し外れたところに変曲点を持っている。
　いかにもここが“真ん中”といった感じだ。」
「だから、その“真ん中”に座標を合わせたくなるのね。」
「そうだ。座標を合わせるには、X を (x - a/3) に置き換えればいい。
　今度も x^3 + a x^2 を微分してみると、3 x^2 + 2 a x 、
　さらにもう一回微分すると、6 x + 2 a 、ここから a/3 が出てくる。」
「そっかあー。きっと最初に考えた人も、こうやってグラフを書いてみたんだね。」
「恐らく何らかの幾何学的イメージは持ち合わせていたと思う。
　もっとも時代からして、今みたいにスマートに微分していたとは思えないけどね。」

「そういえば、三次方程式のときには、立方体をイメージして解き方を考えた。」
「その立方体のイメージは、歴史的な文献にも残っている。
　昔は、現代のような記号で書く代数が発達していなくて、幾何学的な図形と言葉で考えていたんだ。
　記号代数は人類の偉大なる進歩だけど、後から学ぶ者にとっては、昔ながらの図形イメージが助けになると思う。
　・・・そうだ、まずは三次方程式の形を見てみようか。」
「三次方程式の形って、三次曲線のこと？」
「その三次曲線を、複素数の範囲まで広げて見たら？」
「複素数？」
「ああ。例えば y = x^3 の、実数上のグラフはこんな感じだろう。」
Ａはクニャっと曲がったＳ字型のグラフを描いた。
「それと、x^3 = 1 という方程式の答は、いくつになるかわかるかな？」
「あ、それ聞いたことがある。１と、ωっていう数と、ω^2 の３つ。」
「よく知っているじゃないか。
　その３つの答を複素平面上に描くと、ちょうど正三角形の頂点の位置に来る。
　それでは、この２つの図、Ｓ字型のグラフと、正三角形を組み合わせるとどうなるかな？」
「組み合わせって・・・、つまり、複素数上で三次曲線を描いてみるってこと？」
「そう。ただし１枚の絵に収めるために、(実数y) = (複素数x)^3 という関数にするけどね。」
Ａは３次元のグラフを描いて見せた。
実数のｘ軸、虚数のｉ軸、そして実数のｙ軸の３本。
「 y = x^3 + 1 のグラフは、まず実数のところは、このＳ字型のカーブになる。」
「うん。」
「虚数の範囲で、今、わかっているのは、正三角形の、ここと、ここの３点だ。」
「そっか、実数の他に、あと２本の線があるんだね。」
「その２本の線が、どんな風に延びているか、想像できるかな？」
「えーと、えーと・・・たぶん双子みたいに、そっくり同じ形をしていると思う。」
「良い予想だ。実は双子どころか、三つ子になっているんだ。」
Ａは、あと２本、Ｓ字型の曲線をグラフに描き足した。

「こんな風に、同じ形の曲線が１２０度ずつ回転した形になっているんだ。」
「そうなっているのかー、きれいだね。」
「これがわかると、もっと次数の高い曲線の姿も想像が付く。
　４次関数 y = x^4 + 1 は、４本の曲線がこんな風に、４５度ずつ交互に組み合わさった形をしている。
　２次、４次といった偶数次数の曲線は、上下に分かれるんだ。」
「わあ、チューリップみたい。」
「はは、女の子らしいな。
　五次関数 y = x^5 + 1 は、上から見ると５角形。５本の曲線が交わった形をしている。」
「上から見ると、星みたいな形だね。」
「花に星か、ロマンチックだな。」
「きれいな方がいいでしょ。」
「そうだな。複素数のグラフは眺めていて飽きない、きれいな形をしている。
　もう１つだけ、y = x^3 - x という三次関数のグラフを描いてみよう。
　グラフは、実数平面上では凹凸を持つＳ次になっている。」
ＡはＳ字カーブを描いた後に、その凹凸の先に接する、２本の線を付け加えた。
「こんな形に、残りの２本の線がつながっている。」
「おもしろいね。あ、だから２つの答が実数になったり、虚数になったりするんだね。」
「そうなんだ。
　方程式にいろんな項を付け加えると、３本の線の形が変化してゆく。
　逆に言えば、線の形は変化するけれど、どこかに３本ある、ということ自体は変わらない。
　これが“代数学の基本定理”の直感的な理解なんだ。」
「“代数学の基本定理”・・・代数方程式は、複素数の範囲の中に、必ず答があるっていうこと。」
「そう、一見複雑な代数方程式は、グラフの線をグニャグニャ歪めた形をしている。
　方程式を解くというのは、その歪みを解きほぐす作業なんだ。
　ほら、さっきやった“チルンハウゼン変換”、あれは座標を中心に持って行くという作業だったじゃないか。」
「あっ、、、」
いま、私の中で、式の形とグラフの形が１つになった。
式を解きほぐす、グラフの歪みを解きほぐす、それは、１つの同じこと。
「２次関数だったら、解きほぐすのはやさしい。
　ｘの１次の項を付け加えても、放物線の形自体は歪まないからだ。
　なので、グラフの中心を移動するだけで済む。
　三次関数は、ｘの２次の項を付け加えると、形が歪む。
　なので歪みを解くのはたいへんだ。」
「それより上だったら、、、」
「それ以上だったら、さすがにグラフの形で解くには無理があるかな。」

「さて、それではもう１度、三次方程式の解き方をまとめておこうか。
　咲は、確か立方体を作るようにして三次方程式を解いた、と言っていたね。」

「ええ、三次方程式 x^3 + a x + b = 0 を解くのに、
　まず x^3 を別の形で表すところから取りかかるの。
　試しに x に v を足して、一辺の長さが x + v = u になる立方体を作って、
　x = u - v ってことにすると、
　x^3 = (u - v)^3 = u^3 - 3 u^2 v + 3 u v^2 - v^3 になるわ。」
「その方法は、カルダノという人が記録に残したものだね。」
「じゃあ、カルダノって人が最初に解いたの？」
「それが、どうやら最初に突破口を開いたのはダル・フェッロという人らしい。
　当時のイタリアでは発見を秘密にする風習があって、ダル・フェッロも公にはしなかった。
　次にタルターリャという人がそれを改良したのか、独力で見出したのか、とにかく答にたどりついた。
　最後にカルダノが本にして発表した。
　カルダノは解の公式に名を留めているけれど、実はこっそりタルターリャから聞き出したのだという憶説もある。」
※タルターリャは吃音という意味のあだ名で、本名はニッコロ・フォンタナ。
「ふーん、だとすると、ちょっとずるいね。」
「真相は歴史の闇に埋もれている。
　咲が聞いたのは、そのカルダノの方法を現代風に直したものだ。
　解法の続きを覚えているかい？」
「うん、最後までできると思う。」
私は、できるところまで計算を進めてみた。
「よくできたね。１６世紀だったら歴史に名を残していたところだ。」
「今は２１世紀だよぅ。」
「残念、５００年の差があったな。でも、ちょっと待った。
　確か３次方程式は、答が３つあるんじゃなかったっけ？」
「あら、どうしてだろう？」
「よく見直してごらん。
　二次方程式で答が２つ出たのは、√をとるときにプラスマイナス２つがあったからだ。
　似たようなことが三次方程式でも無いかな？」
「・・・えーと、えーと、あ、そうか。
　立方根³√をとるとき、３つ出てくるんだ。」
「その通り。
　もし X = u^3 だったら、
　　u = ³√X, ³√X ω, ³√X ω^2
　の３つの答が出てくる。
　この３つに対して、v の方は u v = a/3 となる組み合わせで
　　v = ³√X, ³√X ω^2, ³√X ω
　といった形になるんだ。」
「うーんと、ω・ω^2 で１になるから、この組み合わせだけが残るんだね。
　６個の部品の組み合わせで、３個だけが残るんだ。」
「そう、その“６個のうちの３個”という感覚が、方程式の形を見る上で大事なところなんだ。
　それは、これから少しずつ話してゆこう。
　今日はもう遅いからね、おやすみ。」
複素数の形、方程式の形、正三角形、チューリップ、星形・・・
方程式には、隠された形があったんだね。