我がマスター、リンへ

この手紙が読まれるときには、恐らく僕はもう、この世界にはいないだろう。
どうも僕は、言い残したことを手紙に書き残すように運命づけられているらしい。
ここに書き残すことは、まだ君にとって難しいことかもしれない。
でも、これまで僕が話してきたことを思い返して、知識を総動員すれば、きっとわかってもらえると思う。
２００年前、僕は同じような手紙を書いた。
その手紙は、長い時間をかけて少しずつ、たくさんの人にわかってもらえるようになった。
今度は君の番だ。
うんと時間がかかったって構わない。
少しずつ、少しずつ、進んでゆけばいい。
実際に、人類はそうやってここまで来たんだ。

たくさん考えて、ときに間違って、リンは最後に大発見にたどり着いたね。
　方程式の解法 = 方程式の答の入れ替えパターン = 代数体の入れ替えパターン
これは本当の大発見だ。
それが、既に２００年も前に考えられていたことだなんて、気にする必要はない。
理解とは、第二の発見なのだから。

方程式には形があり、群がある。
二次方程式は、鏡面対称。
２つの答を入れ替える群は、対称群Ｓ₂
三次方程式は、正三角形。
３つの答を入れ替える群は、対称群Ｓ₃
四次方程式は、立方体。
４つの答を入れ替える群は、対称群Ｓ₄
五次方程式は、正二十面体。
５つの答を入れ替える群は、対称群Ｓ₅

方程式を解く、という操作は、問題をより小さな次数の方程式に還元することだ。
それは、方程式の群を、より小さな部分群に分解するということでもある。
そしてまた、有理数Ｑから拡大してきた代数体の階段を、一段ずつ降りてゆくことでもある。
方程式、群、体。
この３つは、１つの同じものを、別の側面から見た姿なのだ。
　　　　※ ここでは方程式の係数が有理数Ｑであるとして話を進める。
　　　　※ ただ、係数を有理数Ｑに限る理由はない。
　　　　※ 係数を一般的な代数体Ｋとしても、話の大筋は変わらない。

まずは二次方程式。
二次方程式の２つの答には、√が付く場合、ときには虚数ｉが付く場合がある。
それらは代数体Ｑ(√n)、あるいはＱ(√nｉ)の上で解くことができる。
一般に、二次方程式の２つの答は異なる数だ。
しかし方程式自体は、２つの答のどちらを入れても、同様に成立する。
二次方程式の係数は、解と係数の関係より、解の基本対称式で表される。
具体的には、x^2 + a x + b = 0 の２つの答をα、βとすると、
　　- a = α+β
　　　b = αβ
方程式の係数が、答の入れ替えに対して全く動かないということが、見て取れるだろう。
二次方程式を解くという操作は、答の入れ替えに対して不動のものから、
変化するものを生み出す操作なのだ。

入れ替えても結果が変わらないという性質を「対称性」と言う。
基本対称式は、対称性を有している。
それでは、二次方程式を解く過程において、どこで対称性は破れるのか。
それは、べき根√を取る操作においてである。
例えば x^2 - 2 = 0 の答は、+√2 と -√2 の２つになる。
ここで、+ を採るか、- を採るかという２つに１つの選択が、対称性を破っているのだ。
べき根√以外の操作、＋−×÷の四則演算では、対称性を破ることはできない。
繰り返す。代数的な方法の中で、対称性を破れる操作は、べき根√だけである。

ところで、体とは、四則演算で閉じている数の集合のことだった。
なので、どんなに四則演算を繰り返しても、今ある体の外に出ることはできない。
体を代数的に拡大する方法も、べき根√の添加だけなのである。

二次方程式の場合、有理数体Ｑに、√n、あるいは √nｉ を添加することで、
方程式を解くことができる分解体を作ることができた。
このことは同時に、方程式の答の入れ替えという側面から見れば、
√によって式の対称性を破るということでもある。
このように、代数体の拡大と、方程式の対称性の破れは、
べき根√という操作を通じて、全く同じ挙動を示すのだ。

それでは、べき根√によって、代数体、あるいは方程式の群はどのように変わるのか。
それがはっきりと分かるのは、三次方程式だ。
いま一度、x^3 - 2 = 0 という基本的な例を取り上げよう。
この方程式の答は、³√2, ³√2ω, ³√2ω^2 の３つ。
方程式が完全に解ける、最小分解体はＱ(³√2, √3 i) だ。（ω = (-1+√3i)/2 ）
この方程式の群、同時に体の自己同型群といっても同じことだが、それは対称群Ｓ₃である。
ちょうど正三角形の板を、回転、裏返しによって重ね合わせる操作と同じだ。
³√2 は１２０度ずつの回転に、√3 i は裏返し操作に相当する。
ここから予想されるのは、べき根ⁿ√x が形作る群は、
ｎ角形の回転操作、すなわち位数ｎの巡回群であるということだ。
複素平面上で、１のｎ乗根がどのような形をしていたか、思い出してごらん。
それらは複素平面の円周上をｎ等分していただろう。（数学夜話 第３回）

本来なら証明が必要なところだが、ここでは事実として受け容れることにしよう。

ここで、ｎ乗根のｎを素数に限定した。なぜか。
それは、合成数は素数に分解されるからである。
例えば √6 = √2・√3 だ。
なので、√2 と √3 について考えれば、√6 はその組み合わせによって表すことができる。
位数が素数の群は、巡回群しか無い。

三次方程式の解法の本質は、方程式の持つ群Ｓ₃から素数位数の巡回群を見つけて、くくり出すということなのだ。
注意してほしいのは、方程式の持つ群自体が巡回群だというのではない、ということ。
方程式の群そのものではなくて、方程式の群から部分群を取り出したときにできる商群が巡回群になっている、ということなのである。
群の“差分”とでも言えばわかりやすいだろうか。（差分というより、“商分”なのだが）
体の側から見ると、べき根を加える操作は、もともとあった体に対する“変化”なのである。
たとえば、ある体Ｋに√2を添加してＫ(√2) という体を作ったとき、
Ｋに位数が２の巡回群が“付け加わった”と見るべきなのであって、
必ずしも、もともとの体Ｋが巡回群である必要はないのである。
三次方程式では、たまたまＳ₃の部分群も、商群も、どちらも巡回群となっているので、このことは解りにくい。
何が巡回群となっているかについては、後で四次方程式を見るときに、改めて振り返ることにしよう。

三次方程式の解法では、６パターンある３つの答の入れ替えを２パターンにまとめるような式、
リゾルベントを構成する必要があった。（数学夜話 第６回）
リゾルベントができれなければ、三次方程式を、より次数の低い二次方程式に帰着させることができない。
幸いにも、三次方程式ではそのようなリゾルベントを作ることができた。
具体的には
　　(x1 + ω x2 + ω^2 x3) ^ 3
というものだ。
なぜ、このようなリゾルベントを作ることができたのか。
それは、方程式の土台となる数、代数体がＳ₃という対称性を有していたからである。
幸いにも、Ｓ₃は位数が３の巡回群を部分群に持っていた。
そして、Ｓ₃をその巡回群で割った余りは、位数が２の巡回群となっている。
これは、もとの方程式がべき根³√と、²√（いわゆる平方根）によって解けるということを示している。
もっとも、体がＳ₃だからといって、具体的なリゾルベントの形がわかるわけではない。
しかし、体がそもそも対称性を有していなければ、その上でどんなに式をいじってみても、
答の入れ替えパターンを減らすようなリゾルベントを作ることはできないはずだ。

四次方程式の形は、立体に例えるなら立方体、正６面体に相当する。
ただし、四次方程式の４つの答は、立方体の４本の対角線に対応する。
三次方程式の三角形のように、頂点が答に対応しているわけではない。
立方体を回転して、もとの立方体に重ね合わせるやり方は、全部で２４通りある。
まず向かい合う面の中心を通る軸が３本。
この軸を中心に、９０度回転、１８０度回転、２７０度回転がある。
これで、３ｘ３＝９通り。（これを“面中心タイプ”と呼ぶことにしよう）
次に、対角線が４本。
それぞれの対角線を中心に、１２０回転、２４０度回転がある。
これで、４ｘ２＝８通り。（これを“対角線タイプ”と呼ぶことにしよう）
最後に、向かい合う辺同士の中点を結ぶ軸が６本。
この軸を中心に、１８０度回転がある。
これで、６通り。（これを“辺中心タイプ”と呼ぶことにしよう）
最後に、全く動かない恒等置換が１通り。
全部合わせると、９＋８＋６＋１＝２４通りとなる。

４つの答の入れ替えである対称群Ｓ₄の位数は 4! = 24。
Ｓ₄と、正６面体の入れ替え操作は、余すところなく１対１に対応する。
つまり、対称群Ｓ₄と、正６面体の回転群は同型である。
対称群Ｓ₄を、素数位数の巡回群によって、より小さな部分群に分けていってみよう。
単に図形をいじっているかに見えるこの作業が、後で見るように、方程式の解法の本質を表しているのだ。

まず２４通りの操作のうち、半分の１２通りの操作だけを抜き出してみよう。
ここでは、“面中心タイプ”の中から、９０度回転、２７０度回転を落として、１８０度回転だけを残すことにする。
これが３通り。
“対角線タイプ”の８通りは全て残す。
“辺中心タイプ”は、全て落とす。
恒等置換の１通りは残す。
残した変換は、３＋８＋１＝１２通り。
なぜ、このような恣意的な変換だけを選び取ったのか。
実は、いま残した変換には全て“偶置換”という性質が備わっている。
落とした変換には、全て“奇置換”という性質がある。
“偶置換”というのは、要素を２個ずつ 1->2, 2->1 といった具合にペアで交換していったとき、
変換全体が偶数回のペアの交換と同じになっているということなのである。
たとえば、(2, 3, 4) といった巡回置換は、2と3の交換、続いて2と4の交換、といった２回のペア交換と同じになる。
なので、(2, 3, 4) は偶置換だ。
一方、(1,2,3,4) といった巡回置換は、どうがんばっても３回のペア交換が必要となる。
なので、(1,2,3,4) は奇置換だ。
今行ったように、偶置換だけを集めてきた変換の集合は、これも１つの群となる。
対称群の中から、偶置換だけを集めてできた群のことを“交代群”と言う。
またの新しい用語に、リンの嫌がる顔が目に浮かぶようだが、これも覚えておいてほしい。

Ｓ₄から作り出した交代群は、Ａ₄という記号で表す。
Ａは Alternating、交互に、という意味だ。
対称群Ｓ₄に立方体という形があったように、交代群Ａ₄にも、呼応する形がある。
交代群Ａ₄の形は、正４面体だ。
対称群Ｓ₄から交代群Ａ₄を生み出す過程は、立方体の動きの中から際だったものを抜き出し、
抜き出した動きによって正４面体という新たな形を再構成するプロセスなのだ。

正４面体を回転して、もとの正４面体に重ね合わせるやり方は、全部で１２通りある。
４つの頂点と、向かい合う面の中心を通る軸が４本。
この軸を中心に、１２０度回転、２４０度回転がある。
これで、４ｘ２＝８通り。（これを“頂点タイプ”と呼ぶことにしよう）
そして、向かい合う辺同士の中点を結ぶ軸が３本。
この軸を中心に、１８０度回転がある。
これで、３通り。（これを“辺中心タイプ”と呼ぶことにしよう）
最後に、全く動かない恒等置換が１通り。
全部合わせると、８＋３＋１＝１２通りとなる。

ところで正４面体の１つの面は、正三角形の板になっている。
正三角形の板と言えば、先ほどの三次方程式を思い出さないか。
実は、ここで出てくる正三角形は、もとの四次方程式で言えば、
解法の途中に出てくる三次方程式に相当しているのである。

さて、交代群Ａ₄、あるいは正４面体の回転群を、さらに小さな部分群に分けていってみよう。
ここでは“辺中心タイプ”と恒等置換だけを残して、“頂点タイプ”は全て落とす。
残った操作は、３＋１＝４通り。
ここで残った操作の形は、３本の直交する軸についての１８０度回転である。
（もはや立体の多面体にはならない。）
これには“クラインの四元群”という名前が付いている。
クラインの四元群は、ちょうど２ｘ２＝４といった関係で、位数が２の巡回群を部分群に持つ。
ここまでで、最初の対称群Ｓ₄は、すっかり部分群に分けられたことになる。

以上、四次方程式についての流れをまとめると、こんな風になる。

べき根による体の拡大、巡回群はどこに相当するのかと言えば、
▲印を付けたところ、いわば“群と部分群の間の変化”に相当している。
たとえば四次方程式で、交代群Ａ₄とクラインの４元群Ｖ４の間を見ると、その間には位数３の巡回群がある。
この巡回群は、Ａ₄からＶ４という部分群を取り出したときにできる商群であり、
具体的には { e, (2,3,4), (2,4,3) } という、三角形の回転をイメージさせる形となっている。
実際に４次方程式までで登場するべき根は、平方根√と、立方根 ³√ までだ。
なので、巡回群と言ってもイメージとしては、三角形の回転までで十分だったのだ。

途中段階にある群、たとえばクラインの４元群などが巡回群となっているわけではない。
それでは、この途中段階にある群は、部分群でありさえすれば、何でもいいのだろうか。
なぜ、上の流れのやり方でなければならないのか？
ひょっとすると、Ｓ₄から部分群を取り出すやり方は、上の流れ以外にもあるかもしれない・・・
そのように、リンは疑問を感じたかもしれない。
方程式に戻って考えると、途中段階にある部分群は何でもいいという訳ではない。
１つ、外せない重要な条件がある。
それは“途中段階にある部分群が、方程式の持つ全ての答をカバーしていること”なのである。
“答をカバー”するとは、どういうことか。
一般にＮ次方程式には、Ｎ個の答があった。
途中段階で考えている代数体に、そのＮ個の答が全部含まれていなければ、その代数体は方程式の解法の役に立たない。
答が体からこぼれ落ちてしまうからである。
途中段階で考えている代数体とは、解法の途中に表れる補助方程式に対応している。
もし、途中の体から答がこぼれ落ちてしまったら、補助方程式から最終的な答に達することができなくなってしまう。
代数方程式の持つ複数の答のことを、共役数と言った。
途中段階にある部分群は、全ての共役数を含むような、体の同型写像でなければならないのだ。
代数体という側面から考えると、たとえば Ｑ(³√2) という体は x^3 - 2 = 0 という方程式の全ての答をカバーしていない。
なので、こうした拡大は解法の上で、あまり意味が無い。（数学夜話 第１０回）

Ｑ(³√2, ω) という体には意味がある。
この体は、 x^3 - 2 = 0 という方程式の全ての答をカバーしている。
では、全ての答をカバーしているような群とは、どのような形をしているのだろうか。
結論を先に言えば、途中段階にある部分群が“正規部分群”となっているとき、方程式の答は全てカバーされる。
正規部分群とは a * Ｈ = Ｈ * a のように、元を右からかけても、左からかけても一致するような部分群のことであった。
可換群であれば、この正規部分群という条件は自ずと満たされる。

そもそも有限群は有限個の元しか持たないのだから、片っ端から掛け合わせてゆけば、いつかは一巡して元に戻る。
この一巡に合わせて、方程式のある１つの答を、体の同型写像に従って次々に変換してゆけば、
最初の１つの答は、残りの答の全てをカバーするかのように見える。（数学夜話 第１０回）
これまで例に挙げてきた、+√2 → -√2 → +√2、1 → ω → ω^2 → 1 といった入れ替えがそうだ。
しかし、ここでもし仮に、一巡する経路が１つに定まらなかったとしたら、どうなるだろうか。
例えば 1 → ω → ω^2 → 1 という経路と、1 → ω' → ω'^2 → 1 の２つが存在するとしたら、
方程式の答は２種類にブレてしまって、１つに定まらなくなるだろう。
そんなことが実際に起こり得るのだろうか。
一般に、群というものは可換ではなかった。 a * b ≠ b * a
三角形の回転と裏返しを取り上げてみても、可換ではない。
もし、右回りの経路と、左回りの経路が異なるものであったなら、答は２種類にブレてしまう。
ここで、右剰余類と左剰余類という性質が思い浮かぶ。
もし右剰余類と左剰余類が異なっていたら、類別が２系統できてしまう。
それはちょうど、２種類にブレた経路が存在する状態でもある。
なので、少なくとも正規部分群でなければ、方程式の持つ全ての答はカバーできないだろう。

群という見方によって、方程式が代数的に解ける条件というものが明らかになってきた。

これで、いよいよ最後の目標であった、五次方程式にとりかかることができる。
ここまで来るのは、本当に長い道程だったと思う。
しかも、まだ数多くの疑問を残しているかもしれない。
僕だって、全てを余すところなく説明してきたわけではない。
それでも、リンはきっと、目に見えない“五次方程式の形”について、
なんとかイメージできるところまで来ていることだろう。

五次方程式の群は、対称群Ｓ₅だ。
Ｓ₅を直接表せるような正多面体は存在しないが、
Ｓ₅の中から偶置換を取り出した交代群Ａ₅であれば、正多面体として描くことができる。
交代群Ａ₅は、正２０面体に相当する。
正２０面体を、Ａ₅に対応付けるルールは少々複雑だ。
正２０面体のそれぞれの面を、５色に塗り分ける。
そのとき
・辺を共有して隣り合っている２つの面の色は必ず異なるように、
・１つの頂点に集まる５つの面の色が全て異なるように、
色を付ける。
そのような塗り分け方の１つを、図に示した。

ある１つの頂点Ｐに集まるそれぞれの色に、赤=1, 青=2, 黄=3, 桃=4, 緑=5 といった数字を割り当てる。
正２０面体を回転して、Ｐを別の頂点に重ね合わせたとき、もともとＰの周りにあった[1,2,3,4,5]という数字の並びは、
移動先の数字の並びに重なることになる。
例えば、Ｐを、図のＱに重ねたとき、[1,2,3,4,5] は [4,3,1,5,2] に置き換わる。
このような１つの重ね合わせが、１つの置き換え操作を表すことになる。
正２０面体には１２個の頂点がある。
各頂点について、72度=2π/5回転ずつ、５通りの回転がある。
なので、重ね合わせ操作は、全部で 12 * 5 = 60 通りとなる。
実は、塗り分けの方法は、本質的には２種類ある。
それが、ここに表れる群が対称群Ｓ₅ではなくて、対称群Ａ₅となっている理由だ。
５つの要素の置き換えパターンは、全部で 5! = 120通り。
一方、１つの正２０面体上で表現できる置き換えパターンは 60通りしかない。
塗り分け方の異なる、もう１つの正２０面体を用意して、
この２つの正２０面体の間を自由に行き来できるようにしたら、全体として対称群Ｓ₅を表すことになるだろう。

正２０面体を回転して、もとの正２０面体に重ね合わせるやり方は、全部で６０通りある。
向かい合う頂点同士を通る軸が６本。
この軸を中心に、７２度回転、１４４度回転、２１６度回転、２８８度回転がある。
これで、６ｘ４＝２４通り。（これを“頂点タイプ”と呼ぶことにしよう）
向かい合う辺同士を通る軸が１５本。
この軸を中心に、１８０度回転がある。
これで、１５ｘ１＝１５通り。（これを“辺中心タイプ”と呼ぶことにしよう）
向かい合う面同士の中点を結ぶ軸が１０本。
この軸を中心に、１２０度回転、２４０度回転がある。
これで、１０ｘ２＝２０通り。（これを“面中心タイプ”と呼ぶことにしよう）
最後に、全く動かない恒等置換が１通り。
全部合わせると、２４＋１５＋２０＋１＝６０通りとなる。

五次方程式を解くとは、この６０通りの回転操作の中から、素数位数の巡回群を割り出して、正規部分群を見出す作業となる。
そして結局のところ、そのような正規部分群は見つからないのだ。
６０の約数には、次のものがある。
　　３０ｘ２
　　２０ｘ３
　　１５ｘ４
　　１２ｘ５
　　１０ｘ６
素数位数という条件からすると、候補に挙がるのは２，３，５の３つだ。
２の場合、
６０通りの回転操作の中から、３０通りだけを抜き出せということなのだが、果たしてそれが可能だろうか。
下の表を見て、考えてみてほしい。
　　頂点タイプ：　　２４通り
　　辺中心タイプ：　１５通り
　　面中心タイプ：　２０通り
　　恒等置換：　　　　１通り
どれか１つのタイプだけを取り出したところで、３０通りにはならない。
タイプをまたがって、たとえば辺中心タイプの１５通りと、頂点タイプの中から１４通り、
それに恒等置換１通りで、合計３０通りといった組み合わせが考えられるかもしれない。
（恒等置換の１通りは、必ず含まなければならない）
しかし、これだと頂点タイプの中から、どの１４通りを取り出せばよいのだろうか。
５角形に回転する頂点の形から考えて、その中の一部を取り出すには、無理があるだろう。
このようにしてみると、３０通りだけの操作を抜き出すことは、どうもできそうにない。

他の約数についても同様だ。
３の場合、６０通りの回転操作の中から、２０通りだけを抜き出すことになる。
面中心タイプの２０通りではだめだ。そこには恒等置換が含まれていない。

５の場合、６０通りの回転操作の中から、１２通りだけを抜き出すことになる。
恒等置換を除けば、残る１１通りを探すことになるのだが、あてはまる回転操作は何処にも無さそうだ。

五次方程式の謎は、正２０面体の形によって解き明かされる。
驚くべきことではないか。
リンにとってはまだ、謎は依然として残ってるかもしれない。
ここに書いた直感的な説明だけでは、数学的に厳密な証明に程遠いかもしれない。
それでも、たとえ数学的な厳密さを損なっていたとしても、
僕はリンに、何よりも数学の持つ形の美しさを伝えたかった。
複素数、方程式、代数体、群。
数学は、形の美しさに満ちている。
直接目に見えない形を想像するのは、楽しく、不思議な体験だ。

最後に、もう１つだけ不思議なことを伝えておこう。
正６面体の、隣り合う面の中心同士を線で結んでゆくと、その中に正８面体が出現する。
反対に、正８面体の隣り合う面の中心同士を線で結んでゆくと、その中に正６面体が出現する。
正６面体と正８面体は、群として見れば、同じ構造を有しているのだ。

同様に、
正２０面体の、隣り合う面の中心同士を線で結んでゆくと、その中に正１２面体が出現する。
反対に、正１２面体の隣り合う面の中心同士を線で結んでゆくと、その中に正２０面体が出現する。
正２０面体と正１２面体は、群として見れば、同じ構造を有している。
これで五次方程式までの話の中に、全ての正多面体が登場したことになる。
正４面体、正６面体、正８面体、正１２面体、正２０面体。
方程式に隠れた見えない形の美しさを、感じ取ってほしい。