結局シレンは意地を張って、Ｇが居なくなるまで、ここには来なかった。
あいつとはどうしてもソリが合わないんだって。
私から見れば似た者同士に見えるのに、そういうのに限って、お互いに意地を張り合うんだね。
でも、私は知っている。
シレンは、とてもＧのことを尊敬していた。
そして、Ｇはシレンのことを、とても気にかけていた。
そうでなければ、別れ際に、あんなこと言わなかったはずだ。
　　「・・・リン、シレンを頼む。」
今日になって、やっとシレンは私と一緒に来てくれた。
いちおー私が頼み込んだって形なんだけど、ホント、最後の最後まで面子にこだわるんだから。

Ａ「・・・で、それが最後にＧが残していった、置き手紙なわけだ。」
私は、Ａと、みんなにＧが残していった手紙を見せた。
Ａ「まったく、２００年前に人類に残していった手紙みたいだ。
　後から解読する者は、さぞかし苦労することだろうよ。」
今度は、Ａがため息を漏らした。
咲「でも、方程式が見えない形を持っているなんて、とっても不思議で美しいですね。」
凛「“全ては一本の論理の糸で結びつけられている、１つの事実なんだ”って、Ｇが言ってた。
　本当に、最後には１つにつながっていたんだ。」
士錬「群論っていうのかな。代数学の基礎、現代科学の土台だって言われてるのだけれど、
　目に見えない基礎部分って感じで、なかなか実感がつかみ取れない気がするんだ。」
Ａ「そう、群は本当に見えにくい。
　まるで空気のように、意識されない形で、現代科学全体をふんわりと覆っている。」
凛「やっぱ、科学でも空気読めないとだめなんだ。」
Ａ「代数学はもちろん、今日では、幾何学も、物理学も、群論抜きでは成り立たないだろうね。
　どんなことでも、歴史的に最初に得た着想こそが、後から学ぶ者にとっても一番の要になる。
　なので、Ｇの残していった手紙を、２００年前の人類の気持ちになって、
　もう１度読み返してみるといいんじゃないかな。」
凛「まず、あたしに残していった、こっちの手紙の方が先だよ。」
Ａ「そうだね。まずは方程式の“見えない形”について、Ｇの言いたかったことを振り返ってみようか。
　全てを貫くアイデア、“咲と凛の大発見”は、こういうことだった。」

咲「大発見って言われると、なんか恥ずかしいな。。。
　あのときは、なんとなくわかったような気がしてたのだけど、
　やっぱり、方程式と体がなぜ同じなのかかって、うまく説明できないように思う。」
Ａ「うん。まずは体の拡大と、方程式の解の置換との関係を、もう少しはっきりさせようか。
　体の自己同型という所から、話を始めよう。
　いまある代数体Ｋの上に、１つの自己同型写像があったとする。
　その自己同型写像に従って体を移し替えたとき、体の中にある数は、どうなるのかな？」
凛「えっと、全部別の場所に移動するのかな。フルーツバスケット！みたいに。」
士錬「うーん、ちょっと違うかな。フルーツバスケットは全員が移動しなきゃならないけど、
　体の場合には、動く数と、動かない数があると思う。
　ほら、メガネをかけた人だけ移動する、みたいな感じで。」
Ａ「それはいい例えだ。シレンの言う様に、一般の自己同型には、動く数と動かない数がある。
　例えば、複素数のｉと−ｉをひっくり返したときに、実数は全く動かないだろう。」
咲「そういえば、移動の中心軸になっているところは、動きませんね。」
Ａ「そう、とにかく体の同型写像に対して、動く数と、動かない数がある、まずこれが１点目。
　次に、今度は数ではなくて、数を組み合わせて出来た式が動くかどうかを考えてみよう。
　数に動くものと動かないものがあるのだから、それを組み合わせた式にも、
　動く式と動かない式があるだろう。」
凛「虚数をひっくり返しても、実数で出来ている式は変わらないってことかな。」
Ａ「確かにそれもあるけれど、方程式にはもっと解法に直結する、“動かない関係”があるんだ。」
士錬「・・・それって、対称式のことじゃないかな。」
凛「対称式って、、、入れ替えても変わらない式ってこと？」
士錬「ああ。α+βっていう式は、αとβを入れ替えても変わらない。
　α・βという式だって、αとβについて対称だろう。」
Ａ「その通り、いいところを突いた。
　αとβを入れ替えても変わらない式がある。
　だったら、(x - α)(x - β) = x^2 - (α+β) x + α・β という式はどうだろう。
　実はこれ、二次方程式なのだけれど、αとβを入れ替えても変わらないじゃないか。」
咲「ほんとだ。二次方程式は答を入れ替えても、式自体の値は変わらない。」
士錬「二次方程式だけじゃないよ。
　三次方程式だって、３つの答を入れ替えても、式自体の値は変わらないし、
　四次以上の、どんな代数方程式だって、そうなっている。」
Ａ「そういうことだ。そこで体の自己同型写像の話に戻ると、
　αとβをひっくり返すような体の自己同型写像で、二次方程式の値は変わらない、ということになるだろう。」
咲「ここで体と方程式がつながるんですね。」
凛「でも不思議だよね。
　体がぴったり重なるのと、方程式の答の入れ替えって、なんで同じになるんだろう。
　たまたま偶然同じだったのかな。」
Ａ「もちろん偶然ってわけじゃない。
　そして、全ての体が必ずしも方程式とぴったり重なっているとは限らない。
　だから、いろんな体の中で、方程式と同じ対称性を有しているものは特別重要なんだ。」
咲「いろんな体の中でも、特に方程式とぴったり重なっている体だけをピックアップしていたんですね。
　ええと、そういう特別な体のことを・・・」
Ａ「最小分解体と呼んでいた。
　ある１つの代数方程式に対して、最小分解体は必ず存在している。
　例えば有理係数上で α、β、２つの答がある方程式は、Ｑ(α,β) 上で必ず因数分解できる。
　つまり、Ｑ(α,β) は元の方程式の分解体になっているわけだ。」
士錬「そこでαとβを重ねることができるか、Ｑ(α,β)＝Ｑ(α) って、まとめることができるかどうかが問題だな。」
Ａ「それが代数方程式の場合には、うまいことまとまるんだ。
　体というのは、同型写像で写しても四則演算ができる、ということだったから、
　もとの方程式を同型写像で写した先の方程式も、もとの方程式と同じように成り立たないといけない。
　全ての同型写像で同じように方程式が成り立つってことは、同型写像で同じように答を移し替えるってことだろう。」
（数学夜話 第１０回 * なぜ、体の同型写像は、方程式の答を共役数の上に写すのか？）
凛「うーん、それが体の性質だって言われたら、納得しないわけにはいかないんだけど・・・」
Ａ「でも、もっと根本的な理由は、べき根が高い対称性を有しているからだと思う。
　ほら、１のＮ乗根って複素平面の上でＮ角形になっていただろう。
　３乗根は正３角形、４乗根は正方形。代数方程式って、結局はべき根の組み合わせだろう。
　べき根の持つ対称性が、そのまま体に反映されていると思えばいいんじゃないかな。」
咲「・・・べき根の形、そう言われた方が、納得できますね。」

Ａ「ここまでの話で、とりあえず
　　方程式の答の入れ替えパターン = 代数体の入れ替えパターン
　ってことが分かってもらえたかな。」
凛「ふゎーい。」
Ａ「では次に、方程式の解法と、答の入れ替えパターンが、どのようにつながっているかを見てみよう。
　基本となるアイデアは、これだ。」

Ａ「もともとの方程式の値は、答を入れ替えても変わらない。
　しかし、最終的な複数の答は、それぞれ別の数だ。
　だとすると、最初に方程式が持っていた対称性を、どこかで破らないといけない。」
凛「そんでもって、その対称性を破ることができるのは、べき根だけってことだったよね。」
咲「体を拡大するのも、べき根だったよね。
　この辺がなんとなくつながっているような気がしたんだ。」
Ａ「なんとなくではなくて、実は群を通じて、しっかりとつながっているんだ。
　Ｇが最後にまとめた“方程式が代数的に解ける条件”を見てみよう。」
Ａ「まず前提である、
　“Ｎ次方程式の答の入れ替えが作る群は、対称群Ｓnである。”
　これはいいよね。」
士錬「Ｎ個の要素の置き換え方法のことを、対称群Ｓnって呼んでいる。」
凛「ｎ！ってことで。」
Ａ「ＯＫだ。じゃあ
　“１．もとの群から、正規部分群が取り出せること。”
　これはどうかな。」
咲「正規部分群っていうのは、さっき言ってた“方程式とぴったり重なっている体”ってことですよね。
　方程式の答が、同型写像の中にぴったり入っているような体が、解法に役立つんでしょ。」
士錬「方程式の答、共役数がちょうどぴったり入っているような体が、最小分解体。
　それを群の言葉で言えば、正規部分群ってことになるのかな。」
凛「これってＧの手紙の中にも説明があった。
　“もし右剰余類と左剰余類が異なっていたら、類別が２系統できてしまう。”
　って書いてあった。」
Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。
士錬「２００年前には“固有分解”って言っていたんだ。」
Ａ「当然そのときには、現代風の群論の用語は無かったんだ。
　なにせ、これが最初なんだからね。
　もう少し昔の手紙を読み進めてみようか。」
Ａ「さあ、このくだりが、現代風に言えば
　“２．正規部分群を取り出したときにできる商群が、”ってところに相当する。
　方程式を解くということは、もとの方程式が持っていた個数の順列を、
　ＭｘＮのように、２つの順列に“固有分解”するっていうことなんだ。」
咲「・・・えーっと、その“固有分解”と、さっき言ってた代数体がうまくつながらないんですけど・・・」
Ａ「そうだね、もう１度、代数体に戻って考えてみようか。
　有理数体Ｑに、方程式の答α,β,γ,･･･ を全て付け加えた体Ｑ(α,β,γ,･･･)を考えてみよう。
　もとの方程式は、この体Ｑ(α,β,γ,･･･)の上で解けるはずだ。」
凛「答が入っているんだから、当然そうなるよね。」
Ａ「ここでＱ(α,β,γ,･･･)の自己同型写像を考えると、
　実は方程式そのものは動かないってことを、先ほど見てきた。」
咲「そうでした。」
Ａ「ところが、同じ方程式を有理数体Ｑの上で見ると、どうなるか。
　Ｑには数を移し替えるような写像も無いし、代数方程式も解けない、一般的には。」
士錬「二次方程式だって、√が無ければ解けないってことだな。」
Ａ「そう、二次方程式のときには、それで良かった。
　問題となるのは、三次以上の複雑な場合だ。
　三次方程式以上になると、Ｑと、Ｑ(α,β,γ,･･･) の間に、中間ステップを刻む必要が出てくる。
　三次方程式を一気に解くことはできなくて、
　いったん次数の低い二次方程式に落とし込まなければならない。」
咲「それ、補助方程式って言ってました。」
Ａ「そうなんだ。
　四次方程式だったら、四次 → 三次 → 二次 といった具合に、１つずつ次数を下げていかないと、解けない。」
凛「そんなことしなくったって、エイヤーって、一気に解く方法って無いのかな？
　高いところからいっぺんに飛び降りるみたいに。」
Ａ「それがあるかどうかも、結局は方程式の群からわかってくるんだ。」
士錬「方程式によっては、一気に解けることもあるよ。
　たとえば x^5 = 1 なんていう方程式は、複素平面上の５角形ってことで、いっぺんに答が出せる。」
Ａ「肝になるのは“階段を下りる方法”が、べき根という操作だけだってことなんだ。
　 x^5 = 1 は、１回だけのべき根で、一気に下まで飛び降りてこれる。
　でも、そうでない場合には、１回のべき根で一段しか下りてこられない。」
咲「高い次数から、一段ずつ階段を降りてゆくというイメージなんですね。
　そして、その一段の段差はべき根というものになっている。」
Ａ「いま、咲の言った階段のイメージを、体と、群の２つの側面から見てみよう。
　まず体の方から言うと、有理数体Ｑから出発して、１段ずつ体を拡大していって、
　最後には答の体Ｑ(α,β,γ,･･･) に至るステップだということになる。
　その体の拡大に合わせて、群の方は、対称群Ｓｎから出発して、１段ずつ部分群を取り出していって、
　最後には恒等変換 {e} だけが残るというステップを刻む。
　並べて書くと、こんな風になる。」
Ａ「これは四次方程式の例だ。
　L1, L2, L3 っていうのは、Ｑと Ｑ(α,β,γ,･･･) の間にある、中間ステップの拡大体だ。」
士錬「この、式：ってところは・・・」
Ａ「式：のところはちょっとゴマカシているけれど、Ｑ上で全く解けなかった式が、
　体を拡大するにつれてだんだん分解できるようになって、最後には１次式の積に、完全に因数分解できたっていう流れだ。」
凛「体と群の関係って・・・あれ、なんか逆みたいに見えちゃうのは、気のせい？」
Ａ「そこのところは意味をはっきりさせなくてはいけないね。
　上に書いてある体を動かさないような群を、下に書いてある。
　たとえば、対称群Ｓ4 で動かない体は、有理数体Ｑの部分だけだ。
　反対に、Ｑ(α,β,γ,･･･) を全く動かさない群というものは、もはや恒等置換しか無い。
　群という動きの制限が緩くなれば、それだけ全く動かない数の範囲は広がってくる。」
凛「あ、そうか。今度は群と体の関係だから、規則が緩くなるほど、動かないところが増えるってことでいいんだね。」
Ａ「ああ、そうだ。その動かない範囲がだんだん広がっていって、
　最後に方程式の持つ全ての答を覆い尽くすってことでいいよね。」
凛「ちょっとずつわかってきた。」

Ａ「それじゃあ、Ｇの昔の手紙を読み進めてみようか。」

士錬「うーむ、この“あらゆる仕方で固有分解して行けば、遂には、”っていうのが、
　Ａが描いたみたいな“部分群の流れ”っていうことだったんだ。」
凛「Ｇには悪いけどさ、この手紙、解読するのってけっこう大変だったんじゃない。」
Ａ「確かに、他の論文と合わせても、この手紙の価値に気付くまでにはずいぶん時間がかかった。
　さて、手紙にある“これらの群が素数個の順列を持てば、その方程式は冪乗根で解ける。”って下りだが、
　これを現代風に訳し直したのが、
　“２．正規部分群を取り出したときにできる商群が、素数位数の巡回群となっていること。”
　っていうことなんだ。」
士錬「巡回群だってことはあえて手紙には書いていないけれど、素数位数の群であれば、巡回群以外には無い。」
Ａ「そうなんだ。
　さっき話したように、階段を１ステップ下りる方法は、べき根をとるという操作以外に無い。
　そして、代数体にべき根を加えて拡大したとき、対応する群の方は“巡回群で割った”感じになっているんだ。
　例えば、S₄/A₄ = 位数２の巡回群、A₄/V₄ = 位数３の巡回群、といった形になっている。」
咲「あのぅ。。。そのとき方程式の方は、どうなっているのかな。
　群と体のことはかなり分かってきたけど、今度は方程式の方が見えなくなっちゃった。」
Ａ「そうだなぁ。
　Ｇの手紙にも、具体的な方程式のことは、ほとんど書いてないな。
　この四次方程式の“部分群の流れ”は、具体的にはフェラーリの解法の本質を表しているのだけれど。」
凛「確か、四次方程式を解くときのリゾルベントっていうのがあったよね。
　えっと、２４通りの答の入れ替えを、３通りにまとめちゃうって式。
　・・・あれー、今気がついたんだけど、これ、４ステップあるじゃない。
　四次 → 三次 → 二次 → 一次 だったら３ステップだよ。」
Ａ「実はこの群の固有分解は、べき根操作の回数なのであって、必ずしも方程式の次数に一致しているわけではないんだ。
　四次方程式を解く手順を思い出してごらん。
　４という数字は２ｘ２だったから、まず式の両辺を平方完成させていただろう。
　それが、群の分解の上では、まず位数２のステップ U/{e}、次に位数２のステップ V4/U 。
　 V₄ ⊃ U ⊃ {e} というところに表れているんだ。」
咲「方程式を解く順番は、反対に {e} の方から進んで行くんですね。」
Ａ「うん。
　補助方程式である三次方程式にたどり着いた先は、当然三次方程式の解法と似たものになる。
　 A₄/V₄ が位数３の巡回群、S₄/A₄ が位数２の巡回群。
　これは S₄ ⊃ A₄ ⊃ V₄ っていうところに表れている。
　三次方程式の S₃ ⊃ A₃ ⊃ {e} っていう流れと同じものになっているだろう。」
凛「じゃあ、最初のところはどれでも同じになってるのかな。
　二次方程式は S₂ ⊃ {e} ってことだけど・・・」
士錬「その意味では、Ｓｎ ⊃ Ａｎ っていうところが、どの流れでも同じになっているな。
　つまり方程式の解法では、最後には二次方程式を解くことになる。」
咲「そんでもって、その手前では三次方程式を解くっていう流れになっているんですね。」
Ａ「方程式と群が１つになっているってことが、だんだん見えてきただろう。
　四次方程式の、群と式の対応がいちばんよく見えるのは、リゾルベントのところだと思う。
　フェラーリの解法では、こんな形のリゾルベントを考えていた。（数学夜話 第７回）
　　R1 = x1・x2 + x3・x4
　　R2 = x1・x3 + x2・x4
　　R3 = x1・x4 + x2・x3
　この式は、２４通りある答の入れ替えを、うまいこと３通りにまとめているよね。」
士錬「だったら、このリゾルベント自体は、群 V₄ で値を変えないはずだ。
　V4 っていうのは、えーっと、
　　{ e, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) }
　ってことか。」
凛「どれどれ、(1,2)(3,4) は当然。
　(1,3)(2,4) も、、、(1,4)(2,3)も、うわー、ホントだ。
　すごい、すごいよ。ぴったり。」
咲「方程式を解くって、そういうことだったんですね。
　こうやって、体に合わせて“動かない式の部品”に分解していって、最後には１つ１つの数にまで分解してしまう。」
凛「それが方程式の答だってことだよ、咲ちゃん！」
Ａ「どうだろう、分かってもらえたかな。」
凛「ばっちグーだよ、群、すごい。」

Ａ「じゃあ、手紙の続きを読んでみよう。」

咲「５ｘ４ｘ３＝６０。これって、交代群Ａ５というものですよね。」
凛「形にすると、正２０面体。」
士錬「でも、Ａ５が分解不可能だっていうことを、よく見抜いたよなー。
　Ｇだったら直感的にわかるのかもしれないけど、僕だったら、見抜けない。」
Ａ「なぜ分解不可能かってことは、手紙には書かれていない。
　正２０面体のような形を想像していたのかな？
　そのことはＧ本人にしか、わからないだろうな・・・」

そう言って、私たちは顔を見合わせた。
いや、ちょっとだけ分かる。
なぜって、私たちは一緒にＧの夢の中にいたのだから。
私たちは、少しだけ、Ｇの世界を垣間見た。
そこには、幾つもの結晶体が、キラキラと輝いて回転していた。
きっとあの中に、交代群Ａ５もあったのだと思う。

Ａ「・・・さて、Ｇには当たり前のことであっても、私たちには退屈な証明が要る。
　直感的ではないけれど、Ａ５が分解不可能だということを、
　文字の置き換えによって確かめることができる。
　最後に、それをやってみせよう。」

凛「うぅー、、、なんか、一気に頭痛が。。。」
咲「でも、同じことが４文字だと、大丈夫なのかな？」
士錬「５文字になってはじめて、こういった形で３文字の巡回置換が２種類作れるんだ。(i, j, k)(k, l, m)。
　i, j, k, l の４文字だったら、こうはならない。」
咲「不思議ですね。文字の置き換えだけを一生懸命考えれば、方程式のことや、
　正２０面体のことまでわかってしまうなんて。」
凛「でも、あたしには文字の置き換えだって、頭に入りきらないよー、くぅー。」
Ａ「ハハハッ、群については、まだまだ学ぶべきことがたくさんある。
　あせらず、たゆまず、少しずつ。」

凛「そういえば、Ｇの手紙って、ここで終わりじゃなくて、まだまだ続いてるね。」
士錬「・・・この先を解読するのも、かなり大変みたいだ。正直、俺にもほとんどわからないな。」
Ａ「群の話は、ここで終わりではない。
　この先に、まだまだ広大な世界が広がっているんだ。
　群とは空気みたいなもので、それがわかったからといって、すぐに何かの役に立ったりはしない。
　でも、みんなはもう知っているはずだ。
　群というものが“見えない形を見ているのだ”っていうことを。」

そう、私たちは見てきた、方程式の裏に隠された、見えない形の世界を。
それが、Ｇの夢だったんだ。