Gの夢 -- Mathematical Part
★ Gとリンの数学夜話 ・ 第7回:四次方程式のリゾルベント ★
2009/09/01  
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「さて、前回の続きで、今回は四次方程式の解法を調べてみよう。」
「・・・なんかもう、ストーリーパートを完全に無視しちゃってるね。」
「いろいろ試してみたのだが、やはりストーリーと方程式を両立させるのは無理があると判断したのだ。」
「やっぱり方程式って、おもしろいお話にはならないんだねー。」
「分かってくれば、方程式だけで充分おもしろいと思うぞ。」
「あたしはストーリーだけでもいいんだけどなぁ。」
「こっちがメイン、ストーリーはオマケだ。」
「あたしの活躍がメインじゃなかったのか。」
「マスターみたいなのがいるから、少しでも親しみやすく、いろいろ工夫しているんじゃないか。」
「へいへい。じゃ、本日のメイン、いってみよっか。」

・・・

「四次方程式の解法も、三次方程式と同じように、リゾルベントと補助方程式を作ることになる。
 最初にリゾルベントだが、どんな式を作ればいいのかな?」
「ええと、答を入れ替えても、値が変わらないような式を作ればいいんだよね。
 四次方程式の答は4つだから、4つの数の入れ替え方は 4! = 4・3・2・1 = 24通り。
 それを1つ下の三次方程式にしたいのだから、3通りの値にまとまるような式を作ればいいんだ。」
「その通り、よくわかっているじゃないか。」
「で、ヒントは?」
「少しは自分で考えたのか?」
「そんなの時間のムダだよ、だって難しいんだもん。」
「はぁ・・・」
Gは、ため息を漏らした。
「まずは三次方程式の真似をしてみたらどうだ。」
「了解、じゃ、さっそく真似してみると、、、
 三次方程式だと複素平面上を120度ずつ、3分割で1回転してたよね。
 だったら四次方程式は90度ずつ、4分割で1回転すればいいのかな。」
「その考え方で行くと、ωに相当するものは何だ?」
「90度のところだから、、、虚数単位iだよね。
 そっか、そんな感じで真似したらリゾルベントは
  (x1 + i x2 + i^2 x3 + i^3 x4)^4
 = (x1 + i x2 - x3 - i x4)^4
 だね。」
「うむ、悪くはないが、それだと4回の操作で1回転するだろう。
 ということは、全24通り / 4回 = 6通り。
 x1〜x4 の入れ替えに対して、式の値は6通りに変化する。
 それだと補助方程式は6次方程式になってしまう。」
「うーん、うまくいかないなー。」
「実は四次方程式には、三次方程式に無かった事情がある。
 3は素数だが、4は2x2という合成数だ。
 なので、4の場合には3の真似をするのに加えて、もう1工夫要る。」
「そんなこと言っても、もう工夫の余地ないんですけどー。」
「あきらめるな。
 1つの式でダメなら、もう1つ似たような式を作ってみたらどうだ。
 例えば回転を逆向きにして
  (x1 + (-i) x2 + (-i)^2 x3 + (-i)^3 x4)^4
 = (x1 - i x2 - x3 + i x4)^4
 という式を作ってみる。」
「でも、これだってさっきと同じだよね。
 4回の操作で1回転するから、この式もさっきと同じように6通りになるよ。」
「2つの式を合わせてみたらどうだ。」
「へっ?!」
「2つの式を見て気付くことは、どちらも
 x1 -> x2 -> x3 -> x4 -> という入れ替えに対して、値を変化させないことだ。
 この入れ替えが4通りある。」

  x1 x2 x3 x4
  x4 x1 x2 x3
  x3 x4 x1 x2
  x2 x3 x4 x1
「それで?」
「そして、最初に作った式と、次に作った式を比べると、
 x2 と x4 を入れ替えたものだということに気付く。」
「そうだね、回転のイメージだと、90度と270度のところを上下逆さにしたみたいだね。」
「ということは、最初の式と、次の式の値を互いに入れ替える方法は4通りある。
 これ、わかるか?」
「えーと、上下逆さにして、そこから90度ずつ回したのが4通り。」
「そういうことだ。」
  上下逆さにして、そのまま
  上下逆さにして、90度回転
  上下逆さにして、180度回転
  上下逆さにして、270度回転
「そこでだ。2つの式を合わせて
  (最初の式) + (次の式)
 という式を作ってみたら、この合わせた式の値を変えない入れ替えは、何通りある?」
「むむー、まず1つ1つの式の値を変えないのが4通りでしょ。
 そんでもって、前後の式の値が入れ替わるのが4通り。
 合わせて8通りの入れ替えについて、値を変えないみたい。」
「4つの x1〜x4 の入れ替え方法が24通り。
 その中の8通りの入れ替えについて、この合わせた式は値を変えない。
 で、24 ÷ 8 は?」
「3。。。あ、できた。」
「できたね。
  (x1 + i x2 + i^2 x3 + i^3 x4)^4 + (x1 - i x2 - x3 + i x4)^4
  (x1 + i x2 + i^2 x4 + i^3 x3)^4 + (x1 - i x2 - x4 + i x3)^4
  (x4 + i x2 + i^2 x3 + i^3 x1)^4 + (x4 - i x2 - x3 + i x1)^4
 この3つの式は、24通りの入れ替えを、3通りの値にまとめるリゾルベントになっている。」
「あとはその3つの値を使って三次方程式作って、って、うわー、涙が出るくらいたいへんそう。」
「確かに、まともに挑んだら、かなり複雑な計算になるな。」
「・・・この辺で、やめとこっか。」
「マスターはすぐ怖じ気づくのだな。」
「あたしは無謀なことはしない主義なの。」
「ぐうたら主義だな。しかし、今の場合は正しい判断だ。
 たとえこの三次方程式が解けたとしても、その先、最終的な4つの答にたどり着く段になって困ってしまう。」
「そうそう、これだけ複雑な式だと、その先もたいへんだよ。」
「4乗が2つも入っている連立方程式だから始末が悪い。
 ここまで複雑にならなくても、もっと良いリゾルベントが他にもある。」
「え、どんなの、どんなの?」
「初心に帰って、ヤマカンで探してみたらどうだ?」
「いじわるぅ。」
「自分の頭で考えることが大事なんだ。」
「くうぅ。じゃ、初心に帰って、まず
  x1 + x2 + x3 + x4
 って式は、、、だめだね。どんなに x を入れ替えても、結果は1通り。」
「・・・」(無言)
「じゃ、じゃあ、ちょっとだけ変えてみよっかなー、、、てきとーに引き算にして、
  x1 + x2 - x3 + x4
 だと、だめみたいなよーな、、、」
「・・・」(無言)
「それじゃ、半分だけ引き算にして、
  x1 + x2 - x3 - x4
 とか・・・」
「それ、正解。」
「えっ、なんかやけに簡単に見つかったね。」
「難しく考えずに、とにかくやってみるっていうのも、以外に効果がある。
 確かめてみよう。その式を
  (x1 + x2) - (x3 + x4)
 という風に見る。
 この式の値を変えない入れ替えは、次の4つだ。」
  ・全てを全く入れ替えない
  ・x1 ←→ x2 の入れ替え
  ・x3 ←→ x4 の入れ替え
  ・x1 ←→ x2 と x3 ←→ x4 の入れ替え
「でも、目指すのは8通りだから、あとの4通りはどうしようか。」
「入れ替えたら値が変わらないのではなくて、入れ替えたら値がマイナスになる、というものがあるだろう。
 前半の (x1 + x2) と、後半の (x3 + x4) をガサッと大きく入れ替える。」
「えっと、つまり x1 ←→ x3 と x2 ←→ x4 を同時に行うってことだね。
 あと、x1 ←→ x4 と x2 ←→ x3 っていう組み合わせもあるね。」
「そうだな。
 式の値を変えない入れ替えが4通り、式の値をマイナスに変える入れ替えが2通り。
 ということは、この式の絶対値を変えない組み合わせは全部で4・2 = 8通りになる。」
「値を変えない入れ替えの後に、マイナスに変える入れ替えを、続けてやった場合の数だね。」
「さて、絶対値が同じで、プラスマイナスだけが違っている数を、同じ値にそろえるには、どうしたらいいかな。」
「2乗してみるとか。」
「これで、できたろう。
  ( (x1 + x2) - (x3 + x4) )^2
  ( (x1 + x3) - (x2 + x4) )^2
  ( (x1 + x4) - (x2 + x3) )^2
 という3つの式は、24通りの入れ替えを、3通りの値にまとめるリゾルベントだ。」
「わ、できちゃった。」
「今度のリゾルベントの方が、さっきのものよりだいぶ簡単だ。
 実は、まだ別のリゾルベントが考えられる。」
「え、まだあるの。」
「 (x1 + x2) - (x3 + x4) という式を見てごらん。
 これとそっくりな式を、他にも作れないか。」
「えーっとね、真ん中の - を ÷ に変えてみるとか。」
「それは良いアイデアだが、(x3 + x4) = 0 だったときに困るだろう。」
「そっか。じゃ、+ のところを、掛け算に変える。」
  ( x1・x2 - x3・x4 )^2
「うむ、理屈上はこれでもいいのだが、さらに簡素化できて、実はこんな式でもOKだ。
  x1・x2 + x3・x4
 調べてみてごらん。」
「ええと、
  ・全てを全く入れ替えない
  ・x1 ←→ x2 の入れ替え
  ・x3 ←→ x4 の入れ替え
  ・x1 ←→ x2 と x3 ←→ x4 の入れ替え
 あと、
  ・x1 ←→ x3 と x2 ←→ x4 の入れ替え
  ・x1 ←→ x4 と x2 ←→ x3 の入れ替え
 4通りの入れ替えと、2通りの入れ替えの組み合わせで、4・2 = 8通り。
 確かにね。
 でも、こんな式、答を教えてもらったからわかったけど、自分で見つけるのなんて、ほとんど無理。」
「そうだな。理屈はそれなりに後付けできるが、最初に見つけたのは、試行錯誤の末だろう。」
「きっと最初はヤマカンで、いろいろやってみたんだね。」
「ああ、ヤマカンは言い過ぎかもしれないが、頭と手を動かしていろいろやってみたのに違いない。
 今見たように、リゾルベントは決して1通りではない。
 いろんなリゾルベントを考えることができて、それに合わせていろんな方程式の解法ができる。
 しかし、どんなリゾルベントであっても、“24通りの入れ替えをを3通りにまとめる”という基本は変わらない。」
「なるほどー。答の入れ替えとか、対称性とか言ってた意味が、ちょっとだけわかってきたよ。」

「整理してみよう。
 最初に3次方程式を真似て作った式、この形の式は“ラグランジュのリゾルベント”と呼ばれている。
 複素平面上の単位円を、角度でN個に分割したようなイメージだ。」
  x1 + ω x2 + ω^2 x3        -- 三次方程式(120度ずつ回転)
  x1 + i x2 + i^2 x3 + i^3 x4    -- 四次方程式(90度ずつ回転)
「これだと、二次方程式は
  x1 - x2              -- 二次方程式(180度ずつ回転)
 ってことになるのかな。」
「そういうことになるな。
 リゾルベントという考え方で、二次方程式の解の公式を導くのは、こんな感じだ。」
 二次方程式 a x^2 + b x + c = 0 のリゾルベントを、三次方程式と同じように、
  (x1 - x2)^2
 と置いてみる。
 このリゾルベントを、解と係数の関係
  b/a = x1 + x2
  c/a = x1・x2
 を用いて、もとの方程式の係数で表せば
  (x1 - x2)^2
  = x1^2 - 2 x1 x2 + x2^2
  = (x1 + x2)^2 - 4 x1 x2
  = (b/a)^2 - 4 (c/a)
となる。
つまり、リゾルベント
  (x1 - x2)^2 = (b/a)^2 - 4 c/a
ということなのだから、
  (x1 - x2) = √(b^2 - 4 a c) / a
これと、解と係数の関係にある1つの式
  x1 + x2 = b/a
を連立させることによって、解の公式
  x1, x2 = -b ± √(b^2 - 4 a c) / 2 a
が得られる。
「へー、ちょっと計算たいへんだけど、とにかく“ラグランジュのリゾルベント”で三次方程式までは機械的に解けちゃうんだ。」
「ラグランジュという人は、いわば“機械化の魔術師”だと思うな。
 彼は方程式の研究だけでなく、解析力学の創始者でもある。
 “数学に基づく思考経済”という点で、ラグランジュのアイデアには、一本筋の通ったものが感じられる。」
「でも、数式だらけで、なんかとっつきにくい感じ。」
「マスターのような数式アレルギーにはキビシイかもな。
 方程式の歴史も、幾何学的なイメージから、抽象的な記号へと、時間をかけて進化してきた。
 それと同じで、マスターも時間をかけて、少しずつ記号化していけばいい。」
「うー、先が長いんだー。」
「さて、残る2つのリゾルベントについてだが、
  ( (x1 + x2) - (x3 + x4) )^2
 このリゾルベントを元にした、四次方程式の解法がある。
 実質的に、オイラーの解法と呼ばれているものと同じなのだが、今回は省略しよう。」
「ふうっ。」
「最後に
  x1・x2 + x3・x4
 というリゾルベント。
 これが以前やってみた、フェラーリの解法に対応している。
 なので、このリゾルベントを用いて最後まで方程式を解いてみよう。」
「えと、リゾルベントから補助方程式を作ってみるんだよね。」
3つのリゾルベントを R1, R2, R3 とすると、補助方程式は
  (t - R1)(t - R2)(t - R3) = 0
  t^3 - (R1 + R2 + R3) t^2 + (R1・R2 + R2・R3 + R3・R1) t - (R1・R2・R3) = 0
となる。
この補助方程式に登場する係数の部分(R1〜3の式)を、もとの四次方程式
  x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = 0
の係数、a,b,c,d で表したい。
それには、解と係数の関係
  x1 + x2 + x3 + x4 = -a
  x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 = b
  x1 x2 x3 + x2 x3 x4 + x3 x4 x1 + x4 x1 x2 = -c
  x1 x2 x3 x4 = d
を使う。
計算すると・・・
「うぇー、また涙のこぼれるような計算だよー。」
「仕方ない。ここはバトンタッチしよう。」
補助方程式の係数は、もとの方程式の係数を用いて、次のように表される。
  R1 + R2 + R3        = b
  R1・R2 + R2・R3 + R3・R1  = a c - 4 d
  R1・R2・R3         = a^2 d - 4 b d + c^2
つまり、三次方程式
  t^3 - b t^2 + (a c - 4 d) t - (a^2 d - 4 b d + c^2) = 0
を解くことによって、R1, R2, R3 の値を得ることができる。
「この補助方程式を、以前のフェラーリの解法の、途中で出てきた三次方程式と比べてみてごらん。
 実質的に同じものになっているはずだ。」
私は以前のノートを見直してみた。(第5話参照)
  8 y^3 - 4 a y^2 - 8 c y + 4 a c - b^2 = 0
「ぱっと見には違う式みたいに見えるけど。」
「以前解いたときと、記号が少しずつ食い違っているな。
 以前のときは、もとの方程式を簡単にして x^3 の項を消去した
  x^4 + a x^2 + b x + c = 0
 からスタートしていた。
 なので、今回の結果と合わせるなら
 ・今回の結果の x^3 の係数、a=0 にする。
 ・今回の結果に合わせて、前回の結果を1文字ずつずらす、a -> b、b -> c、c -> d 。
 ・t = 2y となっている。
この3つの補正を行ってみよう。」
  t^3 - b t^2 - 4 d t + 4 a c - b^2 = 0
「ほんとだ、同じになってる。」
「つまり今やってきた計算は、フェラーリの解法をリゾルベントという視点から見直したものだ。」
「なるほどね。でも、前にやったことを、ますます難しくしているだけみたい。」
「ただ答を出す、という目的のためだけなら、そうだろう。
 しかし今やっていることは、“なぜ五次方程式は解けないか”その秘密を探るため、
 方程式の解き方を見直していたところだ。
 こうして見直してみると、リゾルベントという式が、重要な働きをしていることに気付くだろう。」
「そうだね。
 結局わかったのは、24通りを3通りに減らすプロセスが入ってたってことだね。」
「これで核心部はクリアーした。
 あとはひたすら計算を推し進めるだけだ。」
リゾルベントの形を見ると、x1・x2 が1つの塊、x3・x4 がもう1つの塊になっている。
この塊をうまく生かすことを考えてみよう。
もし、x1・x2 の他に、x1 + x2 という塊も見つかれば、x1、x2 は二次方程式
  t^2 - (x1 + x2) t + x1・x2 = 0
の解として得られることになる。
同じように x3 + x4 という塊も見つかれば、x3、x4 は二次方程式
  t^2 - (x3 + x4) t + x3・x4 = 0
の解として得られる。

改めて、解と係数の関係を、こんな風に見直してみる。
  (x1 + x2) + (x3 + x4) = -a
  x1 x2 + (x1 + x2)(x3 + x4) + x3 x4 = b
  x1 x2 (x3 + x4) + x3 x4 (x1 + x2) = -c
  (x1 x2) (x3 x4) = d
こうして見ると、x1 と x2 の組、x3 と x4 の組でもって、
全てが表せることに気付く。

以上の方針に従って、
  x1・x2 という塊を x1・x2 = U1、x1 + x2 = V1
  x3・x4 という塊を x3・x4 = U2、x3 + x4 = V2
と置く。
改めて解と係数の関係を書き直すと
  V1 + V2 = -a
  U1 + U2 + V1・V2 = b
  U1・V2 + U2・V1 = -c
  U1・U2 = d
となる。

U1, U2 は、次の u についての二次方程式の解となっている。
  u^2 - (U1 + U2) u - U1・U2 = 0
補助方程式の解を t とすると、t はリゾルベントの1つなのだから、上の式は
  u^2 - t u - d = 0
となる。ここから U1, U2 が求まる。

一方、V1, V2 は解と係数の関係の
  V1 + V2 = -a
  U1・V2 + U2・V1 = -c
から求めることができる。
  V1 = U1 (a - c) / (U2 - U1)
  V2 = U2 (a - c) / (U1 - U2)
これで U, V が求まった。

最終的な x1, x2 は二次方程式
  z^2 - V1 z + U1 = 0
  z^2 - (x1 + x2) z + x1・x2 = 0
の解になっており、また x3, x4 は
  z^2 - V2 z + U2 = 0
  z^2 - (x3 + x4) z + x3・x4 = 0
の解となっている。
「・・・やっと解けた。こうして見ると、けっこうたいへんだね。」
「いかんせん四次方程式だからな。
 二次方程式と比べれば、複雑さは段違いだ。
 四次方程式の解の公式を、無理矢理一本にまとめようとすれば、こうなる。」



「ぎょえー! もういいよ、おなかいっぱい。」
「ついでに、三次方程式はこんな感じだ。」



「ふぇーん、こんなの絶対覚えらんないよー。」
「別に覚える必要は無い。
 必要であれば、説明でやったように1ステップずつ進んでゆけば良いし、
 答が知りたいのなら、コンピューターが充分な精度で出してくれる。」
「じゃあ、公式の意味って、あんまり無いのかなあ。」
「そうだな。公式自体よりも、途中のステップの方が大事だな。
 結果を覚えるよりも、公式を作り出すための考え方を知っておいた方が、ずっと応用が効くぞ。」

まとめ

・四次方程式のリゾルベント
  4つの答の入れ替えは 4! = 4・3・2・1 = 24通り
  補助方程式は3次方程式
  リゾルベントは、24通りの入れ替えを3通りにまとめる必要がある。

・ラグランジュのリゾルベント
  複素平面上の単位円を、角度によってN等分したイメージ
    x1 - x2              -- 二次方程式(180度ずつ回転)
    x1 + ω x2 + ω^2 x3       -- 三次方程式(120度ずつ回転)
    x1 + i x2 + i^2 x3 + i^3 x4    -- 四次方程式(90度ずつ回転)
  このリゾルベントを用いれば、3次方程式までは半ば機械的に解くことができる。

・四次方程式をラグランジュのリゾルベントで解くには工夫が要る
  順方向の回転:
    (x1 + i x2 + i^2 x3 + i^3 x4)^4
   = (x1 + i x2 - x3 - i x4)^4
  逆方向の回転:
    (x1 + (-i) x2 + (-i)^2 x3 + (-i)^3 x4)^4
   = (x1 - i x2 - x3 + i x4)^4
  この2つを足し合わせた
    (x1 + i x2 - x3 - i x4)^4 + (x1 - i x2 - x3 + i x4)^4
  という式は、x1〜x4 の入れ替えに対して、3通りの値を取る。
  しかし、この式を用いて直接に答を求めることはできない。
  解法にたどり着くには、もう一工夫必要。

・オイラーの解法
    ( (x1 + x2) - (x3 + x4) )^2
  この式をリゾルベントに用いて、四次方程式を解くことができる。
  それは、オイラーの解法と呼ばれているものに同じ。

・フェラーリの解法
  もう1つのリゾルベント
    x1・x2 + x3・x4
  この式をリゾルベントに用いたのが、フェラーリの解法。
  このリゾルベントから補助方程式を作ってみると、フェラーリの解法のものと一致する。

・「24通りを3通りに」
  このように、リゾルベントにはいくつかのものが考えられて、
  それに対応したいろいろな解法がある。
  ただし、いずれの方法であっても「24通りを3通りに」という基本は変わらない。

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