「四次方程式！」
「マ、マスター、何を唐突に？」
「だって、３の上は４でしょ。
　あたしが上を行くためには、４まで進まなきゃだめじゃない。」
「マスター・・・」
Ｇは、ため息を漏らした。
「そのアグレッシブな心意気はけっこうだが、
　やはり数学というものは基礎から順番に積み上げるべきものだろう。
　だいたいこの前と言っていることが違ってないか？」
「いいの、あたしはいつも前向きなんだから、落ち込んでる暇なんてないんだよ。」
「はぁ、、、まあいい、とりあえず三次方程式まではわかったことにしておくか。
　それではマスター、四次方程式の解き方について、何かアイデアはあるのかな？」
「えへへ、ちゃんと考えてあるんだ。
　二次方程式が正方形で、三次方程式が立方体をイメージしたのだから、
　四次方程式だったら四次元の立体みたいなものを作ったらいいんじゃないかな。」
「良い方針だ。その線でやってみてごらん。」

四次方程式は
　　A X^4 + B X^3 + C X^2 + D X + E = 0
という形だけど、全体を A で割って、
X = x - (B/A)/4 って置き換えすると、（チルンハウゼン変換）
　　x^4 + a x^2 + b x + c = 0
ってとこまで簡単になるよね。
四乗のものを集めてくる方針だと、
　　x^4 = - a x^2 - b x - c
これで、なんとか (式)^4 = 定数 ってことにするには、
えーっと、えーと、、、

「助け船を出そうか。
　４乗の形にして解くのも不可能ではないが、計算がたいへんだ。
　ヒントは、４＝は２ｘ２というところにある。
　４乗の形を目指すのではなく、まず２乗にすることを目指した方がいい。」
「えーと、つまり (x^2 + ■)^2 = (式) ってことにするの？」
「そう、そのためには、どうすればいいかな？」
「■のところを y ってことにするね。
　 (x^2 + y)^2 = x^4 + 2 x^2 y + y^2 だから、
　さっきの式の両辺に 2 x^2 y + y^2 っていうのを足しちゃえ。」
　　x^4 + 2 x^2 y + y^2 = - a x^2 - b x - c + 2 x^2 y + y^2
　　(x^2 + y)^2 = (2 y - a ) x^2 - b c - c + y^2
えっと、それで、どうしよう、、、
「どうして良いか、わからないときには、とにかくいろいろ試してみるしかないな。
　きっと最初に挑戦した者も、試行錯誤を繰り返したはずだ。」
・・・あたしが悲しそうな顔をしてみせると、Ｇはやっぱり助けを出した。
「左辺が (式)^2 という形をしているのなら、
　右辺も同じように (式)^2 という形にできるはずだ。
　右辺は x についての２次式なのだから、これが (式)^2 という形になるためには、
　判別式が０になっていなければならない。」
　　b^2 - 4 ( 2 y - a ) ( - c + y^2 ) = 0
判別式・・・私は、二次方程式の公式を思い出してみた。
「この式を y について整理すると、y についての三次方程式になっている。
　　8 y^3 - 4 a y^2 - 8 c y + 4 a c - b^2 = 0
　三次方程式が解けるのなら、ここからまず y が求まる。
　その y を上の式に戻せば、
　　(x^2 + y)^2 = (x の一次式)^2
　ということになるから、両辺のルートをとって、
　　x^2 + y = ±(x の一次式)
　これは結局、２つの二次方程式になる。
　それぞれから２つずつ、合計４つの答が出てくる。」
「ふぅ、最後までちゃんと計算すると、けっこー大変だね、こりゃ。」
「四次方程式を解く中には、三次方程式を解くことがそっくりそのまま入っている。
　無理にまとめて１本の公式にすれば、うんざりする位の長さになるな。」
「それはもういいや。
　じゃ、次は五次方程式だね。」
「おまえなあ。」
Ｇは再び、ため息を漏らした。
「だって、４の次は５じゃない。
　って、そういえばシレンくんが、五次方程式は解けないって言ってたっけ。」
「正確には、“代数的な方法によって”解くことができない、だ。」
「代数的って？」
「＋−×÷の四則演算と、√、三乗根のような冪根を、有限回だけ使って答を出すこと。
　五次方程式には必ず複素数の答があるのだから、無限回の操作や、
　特別な新しい関数を持ち込めば答を出せないことはない。
　ただ、計算の方法を限ってしまえば、その中で答に到達できないということだ。」
「ふーん、なんで５だと解けないんだろうね。」
「知りたいか？」
「うん。」
「マスターには無理だと思うぞ。」
「あーっ、バカにしてるな。
　４と５だったら、あと１つじゃない。私だってがんばっちゃうんだから。」
「ところが、その４と５の間に、人類は250年近くもの時間を費やしているのだ。
　ということで、マスターにも250年分くらいはみっちりとがんばってもらわないとな。」
「・・・なんか、急にもういいかなって、気がしてきたんですけど・・・」
「何か。」
「あ、何でもないです、がんばりますです、はい。」

「さて、五次方程式が解けないことを知るためには、
　逆になぜ四次以下の方程式が解けるのか、その理由を深く探る必要がある。
　ヒントは３次、４次のあたりに隠されているんだ。」
「やっぱり下から積み上げないとだめなんだ。」
「そういうことだ。でも、がむしゃらに前進して、後から振り返るというのも悪くはない。」
「えへへ。」
「マスターは、３次方程式、４次方程式の解き方を並べてみて、何か気付いたことはないか。」
「後になるほどたいへん。」
「そう、次数が上がるほど複雑になってゆく。それはなぜだろう。」
「えーと、下から順番に上がってくっていうか、
　３次方程式を解くために２次方程式の公式を使っているし、
　４次方程式をとくためには３次方程式が解けないといけない。」
「良い着眼点だ。
　高次方程式の解法は、次数を１つずつ下げていって解く。
　それでは、その次数を１つ下げた式をじっくり見てみようか。
　３次方程式を解く途中に表れる２次方程式は、どのようなものだったかな。」
「えっ、えーと、えーと・・・」
私はあせあせしながらノートをめくった。
三次方程式を解くには・・・
　　x = u - v
と置いて、
　　u^6 - (a/3)^3 + b u^3 = 0
これは u の６次式のようだが、u^3 = X と置くと、X の二次方程式になる。
　　X^2 + b X - (a/3)^3 = 0
「上出来だ。この途中の式を見てみると、特に答えの数の流れが独特だと思わないか。」
「答の数？」
「そう、答がいくつあるか、ということだ。
　三次方程式の答は最終的に３つになるが、そこに至る途中経過はどうなっているかってことだ。」
「ああ、そう言えば６次式だったら、答は６個出てきそうなものだよね。
　だから、ぱっと見には６個の答が出てきそうだけど、u^3 = X っていう塊ができてるから、
　実は２次式になって答は２つになる。」
「それだけではないぞ。
　途中の２次式を解いて２つの答が出てくるが、
　その２つの答がそれぞれ u^3 = X に相当するのだから、
　三乗根をとると、１つの X から３つずつ、合計６個の u が出てくることになる。」
「でも、最後の答は３つになるんだよね。」
「そう、途中経過をよく見ると、その６個のうち３個だけが上手い具合に条件にあてはまって最終的な答になる。
　つまり答の数は
　　６個 → ３個
　という流れをたどる。
　この途中で出てくる６個という数は何だろう？
　あと、残りの３個はどこに消えたのだろう？」
「ええと、、、消えちゃってるんじゃないみたい。
　三次方程式の解き方を見ると、途中の２次方程式の２つの答 U, V が

　ってなっていて、
　そのとき３つの答が
　ってなるじゃない。
　もしこの U と V をひっくり返しにしても、最後に出てくる答は、
　ひっくり返した前と全くいっしょになるよ。
　途中で消えちゃった、っていうより、途中は見かけ上６個に見えるけど、
　最初から実質的に答は３個しかないから、２つずつ重なっている、って感じなのかな。」
「いまのマスターの言葉の中に、極めて重大なヒントが潜んでいるぞ。」
「えっ、どこどこ。」
「もしこの U と V をひっくり返しにしても、最後に出てくる答は、
　ひっくり返した前と全くいっしょになる、ってところだ。」
「ひっくり返してもいっしょ・・・だから、６個の答が３個になる・・・」
「そうだ。
　ひっくり返してもいっしょ、入れ替えた結果が全く変わらない。
　このことを数学の言葉で“対称性がある”と呼んでいた。
　ちょうど鏡に映したように全く同じ形をしているものは、
　折りたたむように重ね合わせて、世界を半分に集約することができる。
　U と V には対称性がある。
　だから、６個の答を３個にまとめることができる。」
「“対称性”って、確か前にも行ってたよね・・・
　“複素平面上で i を -i に入れ替えたとしても、誰も変化に気付かない”って。」
「良いところに気付いたな。
　・複素平面に対称性があること、
　・二次方程式が解けるということ、
　・ U と V をひっくり返してもいっしょになること、
　・６個の答を３個にまとめられること。
　これらは全て、一本の糸で結びつけられた、１つの事実なんだ。」
「えっ、えっ、えっ、、、なんかいろんなことがいっぺんに降ってきたみたいで、頭に入んないよ・・・」
「ハハハ、だからいっぺんには無理だと言ったんだ。
　これから絡まった論理の糸を、少しずつ解きほぐしていけばいい。」
「うー。」
「まず三次方程式に戻って、この途中に表れた６個という数字は、どこから出てきたものだろう。」
「なんとなーく、２ｘ３、みたいな。。。」
「２次式ｘ３次式ってことか？」
「うん。途中で２次方程式が出るから２、三乗根で３が出てくるから３、掛け算すると６。」
「なかなか良いセンスだ。
　しかしそれは話が逆で、もともと６個あった何物かを、２ｘ３に分解できたから方程式を解くことができた、と言うべきだろう。」
「もともと６個って、、、何？ そんなの考えてもわかんないよー。」
「そうだな、ちょっとやそっと考えても思い付かないだろう、
　これはもう天才的なひらめきと言うしかないな。」
「だったら教えてよー、あたし天才的にひらめかないんだからさー。」
「そんなことはない、ついさっき、マスターだってひらめいている。」
「ほえ？」
「ひっくり返してもいっしょ、入れ替えた結果が全く変わらない、ってところだ。」
「うーん、」
「天才的なひらめきなんていうのは、実は誰でもとっくに気付いていることなんだ。
　ただ残念なことに、たいていの場合、気付いたことに本人も気付いていない。」
「そんな難しいごたく並べてないで、答を教えてよー。」
「答は“３つの要素を入れ替える方法の数”、それが６通りになっている。」
「３つを入れ替える数？」
「そう、３つの順列。
　たとえば、赤、青、黄、の３色の玉を一列に並べる方法は何通りある？」
私は試しに書き出してみた。
この６通り。
「そうだな、3! = 3 x 2 x 1 = 6。順列ってやつだ。」
「それがどうして三次方程式に関係するの？」
「三次方程式には３つの答があるだろう。
　その３つを、試しに入れ替えてみる。
　これはラグランジュという人が、はじめて意図的にやってみたことだ。」
「答えを入れ替える、、、その、入れ替え方が６通り？」
「そうだろう、もし x1, x2, x3 という３つの変数を使った式を作って、
　その３つの数を入れ替えてみたら、式の値は６通りに変化するだろう。」
「1x赤 + 2x青 + 3x黄 とか、いろいろ作ったら、、、まあ、当然と言えば当然だね。」
「ところが、問題にしている三次方程式は、３つの答、どれを入れても式の値は全く変化しない。
　大もとになる原料なのだから、３つの答、x1, x2, x3 のどれに対しても、公平にえこひいきしていないんだ。」
「！！」
「ここが方程式の謎を解く鍵だ。
　三次方程式の裏には、３つの答を入れ替えても、まったく変わらないような性質が隠れている。
　もし、３つの答を入れ替えても値が変わらないような式を作ろうとすれば、
　その式は３！で６次方程式になってしまう。」
「でも３次方程式を解くために６次方程式を作っていたら、本末転倒だよね。」
「それがカルダノの解法だと６次方程式が実質的には二次方程式にまとまって、
　うまい具合に先に進むことができた。
　どうして、うまく次数を下げることができたのか。」
「それが、ひっくり返してもいっしょ、入れ替えた結果が全く変わらない、ってとこにつながってるんだね。」
「その通り。
　元になる方程式は、３つの答、x1, x2, x3 を入れ替えても成り立つ。
　ところが、３つの答そのものは別々の、異なる数だ。
　ここから、方程式を解くために不可欠なプロセスが見えてくる。」
「それが三次方程式だと、６通りを３個に減らすってことなの。」
「そうだ。三次方程式の場合には、それができた。
　二次方程式でも、四次方程式でも、入れ替えて変わる答を作り出すことができる。」
「じゃ、五次方程式になると、それができないの？」
「そういうことになる。
　五次方程式が解けない理由は、５つの答を入れ替えても全く変わらないものから、
　入れ替えて変わるようなものを作り出せないからだ。
　なので、五次方程式を知るためには、“入れ替えても変わらない”性質を深く探る必要がある。」
「・・・先が長そうだね。」
「ああ、今日はここまでにしようか。」
「頭使ったら、なんだか眠くなってきちゃったよ・・・」
「そうそう、よい子は早く寝ないとね。」
「・・・ふにゃー、マスターを子ども扱いするにゃー・・・ぐぅ。。。」